【经典母题1】在测度数据集中趋势时，与均值、中位数相比，众数的缺点是（）。
A．不适用于顺序变量
B．缺乏稳定性
C．易受极端值影响
D．不适用于分类变量
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【考点速递】均值、中位数和众数的比较及适用范围
1.均值 | （1）适用范围 ①适于定量变量； ②不适用于分类和顺序变量。 （2）优点 ①能够充分利用数据的全部信息； ②均值大小受每个观测值的影响，比较稳定； （3）缺点 ①易受极端值的影响； ②如果观测值中有明显的极端值，则均值的代表性较差。 |
2.中位数 | （1）适用范围 ①不适于分类变量； ②适于顺序变量和定量变量，特别是分布不对称的数据。 （2）优点：不受极端值的影响。 （3）缺点 ①没有充分利用数据的全部信息； ②稳定性差于均值，优于众数。 |
3.众数 | （1）适用范围 ①不适用于定量变量； ②主要适用于分类和顺序变量。 （2）优点 ①不受极端值的影响； ②尤其是分布明显呈偏态时，众数的代表性更好。 （3）缺点 ①没有充分利用数据的全部信息； ②缺乏稳定性，而且可能不唯一。 |
【经典母题2】与方差相比，标准差在测度数据离散程度时的优点是（）。
A．适用于顺序数据
B．适用于分类数据
C．不受极端值影响
D．与原始数值具有相同的计量单位
【考点速递】标准差（★★★）
1.定义
(1)方差是反映数据离散程度的重要测度指标，但是其单位是原数据单位的平方，没有解释意义。
(2)我们经常使用标准差来测度数据的离散程度，标准差即方差的平方根。
2.计算公式对于样本数据，常用的标准差计算公式为：
3.特征
(1)标准差不仅能度量数值与均值的平均距离，还与原始数值具有相同的计量单位。
(2)标准差与方差计算比较简便，又具有比较好的数学性质，是应用最广泛的统计离散程度的测度方法。
4.适用范围(1)标准差与方差只适用于数值型数据。
(2)与均值一样，它们对极端值也很敏感。
【经典母题3】某公司员工年度业绩考核中，全体员工考核成绩的均值为80，方差为25，某员工在这次业绩考核中成绩为85，则该员工考核成绩的标准分数为（）。
A．3.4
B．0.2
C．1.0
D．17.0
因为方差是25，所以标准差是5。该员工考核成绩的标准分数为（85-80）/5=1。
【考点速递】标准分数
1.定义：
（1）在统计上，均值和标准差不同时，不同变量的数值是不能比较的。
（2）但是，每个数值在变量分布中相对于均值的相对位置是可比的。
（3）标准分数可以给出数值距离均值的相对位置，计算方法是用数值减去均值所得的差除以标准差。
2.计算公式：
3.结论
（1）标准分数也称为Z分数，是统计上常用的一种标准化方法。
（2）转变后的标准分数并没有改变数值在原分布中的位置，也没有改变数据原分布的偏度。
（3）标准分数的平均数为0，标准差为1。
4.在实际应用中，当数据服从对称的钟形分布时，可以运用经验法则来判断与均值的距离在特定倍数标准差之内的数据项所占比例。
（1）经验法则表明：
①约有68%的数据与平均数的距离在1个标准差之内；
②约有95%的数据与平均数的距离在2个标准差之内；
③约有99%的数据与平均数的距离在3个标准差之内。
（2）对于服从对称的钟形分布的标准分数：
①约有68%的标准分数在[-1，+1]范围内；
②约有95%的标准分数在[-2，+2]范围之内；
③约有99%的标准分数在[-3，+3]范围之内。
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